ಪುಸ್ತಕ: ಮೋಜಿನ ಗಣಿತ
ಲೇಖಕ: ಯಾಜೋವ್ ಪೆರೆಲ್ಮನ್
ಕನ್ನಡಾನುವಾದ: ಅಡ್ಡೂರು ಕೃಷ್ಣ ರಾವ್
ಪ್ರಕಾಶಕರು: ನವಕರ್ನಾಟಕ ಪ್ರಕಾಶನ, ಬೆಂಗಳೂರು
ಮೊದಲನೇ ಮುದ್ರಣ: ೨೦೦೨, ಪುಟ:೧೮೮, ಬೆಲೆ: ರೂ.೯೦
ಗಣಿತ ಎಂದರೆ ಕಷ್ಟ ಎಂಬ ಅನಿಸಿಕೆ ಹಲವರಲ್ಲಿದೆ. ಅನೇಕ ತಂದೆತಾಯಂದಿರು ”ಗಣಿತ ಬಹಳ ಕಷ್ಟ. ನೀನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕಲಿಯದಿದ್ದರೆ ಫೇಲಾಗುತ್ತಿ ನೋಡು” ಎಂದು ಮಕ್ಕಳನ್ನು ಹೆದರುಸುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವು ಶಿಕ್ಷಕರೂ “ಬೇರೆ ಸಬ್-ಜೆಕ್ಟಿನ ಹಾಗಲ್ಲ ಗಣಿತ. ಅದು ಕಷ್ಟದ ಸಬ್-ಜೆಕ್ಟ್” ಎಂದು ಮಾತಾಡುತ್ತಾ ತಂದೆತಾಯಂದಿರ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಕ್ಕಳ ಮನದಲ್ಲಿ ಬಲಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಇಂತಹ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ರಷ್ಯನ್ ಗಣಿತಜ್ನ ಯಾಜೋವ್ ಪೆರೆಲ್ಮನ್ ಅವರ “ಮೋಜಿನ ಗಣಿತ” ಪುಸ್ತಕ, ಗಣಿತದ ಬಗೆಗಿನ ತಪ್ಪು ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ದೂರ ಮಾಡಲು ಸಹಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾಕೆಂದರೆ, ಈ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಓದಿ ಆನಂದಿಸಲು ಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಿಳಿವಳಿಕೆ ಇದ್ದರೆ ಸಾಕು; ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ತಿಳಿದಿದ್ದರಾಯಿತು.
ಇದರಲ್ಲಿ ೧೨೩ ಗಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಗಣಿತ ಚಮತ್ಕಾರಗಳಿಂದ ತೊಡಗಿ, ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಳತೆ ಮಾಡುವ ಕುರಿತಾದ ಉಪಯುಕ್ತ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ತನಕ ಹರಡಿವೆ.
ಅಡ್ಡೂರು ಕೃಷ್ಣ ರಾವ್ “ಫಿಗರ್ಸ್ ಫಾರ್ ಫನ್” ಹೆಸರಿನ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಇಂಗ್ಲಿಷಿನಿಂದ ಕನ್ನಡಕ್ಕೆ ಸೊಗಸಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಏಳು ಬಾರಿ ಮರುಮುದ್ರಣ ಆಗಿರುವುದೇ ಇದರ ಜನಪ್ರಿಯತೆಗೆ ಪುರಾವೆ. ಇದರ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:
ವದಂತಿಗಳ ವಾಯುವೇಗ
ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ, ವದಂತಿಗಳು ಹರಡುವ ವೇಗ ವಿಸ್ಮಯಕಾರಿ. ಕೆಲವೇ ಜನರು ನೋಡಿದ ಘಟನೆ ಅಥವಾ ಅಪಘಾತ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಎರಡು ತಾಸುಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ನಗರದಲ್ಲಿ ಮನೆಮಾತಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸಾಧಾರಣ ವೇಗವೇ ವಿಸ್ಮಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣ.
ಅದೇನಿದ್ದರೂ, ಇಡೀ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತ ರೀತ್ಯಾ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ, ಇದರಲ್ಲೇನೂ ಅದ್ಭುತವಿಲ್ಲವೆಂದು ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತದೆ. ಆಗ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಸೂರ್ಯಪ್ರಕಾಶದಷ್ಟು ನಿಚ್ಚಳವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
ರಾಜಧಾನಿಯಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುವ ವ್ಯಕ್ತಿಯೊಬ್ಬ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾದ ಒಂದು ಸುದ್ದಿಯೊಂದಿಗೆ ಸುಮಾರು 50,000 ನಿವಾಸಿಗಳಿರುವ ಒಂದು ಪಟ್ಟಣಕ್ಕೆ ಪೂರ್ವಾಹ್ನ 8 ಗಂಟೆಗೆ ಬರುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ನಿಂತ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಆ ಸುದ್ದಿಯನ್ನು ಮೂವರಿಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸುಮಾರು 15 ನಿಮಿಷ ತಗಲುತ್ತದೆ.
ಈ ಪ್ರಕಾರ, ಪೂ.8.15 ಹೊತ್ತಿಗೆ ಆ ಸುದ್ದಿ, ಆ ಹೊಸಬ ಮತ್ತು ಮೂವರು ಸ್ಥಳೀಯ ನಿವಾಸಿಗಳು – ಈ ನಾಲ್ವರಿಗೆ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿರುತ್ತದೆ.
ಅವರು ಮೂವರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನೂ ಬೇರೆ ಮೂವರಿಗೆ ಅವಸರದಿಂದ ಆ ಸುದ್ದಿ ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಮತ್ತೆ ಸುಮಾರು 15 ನಿಮಿಷ ತಗಲುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅರ್ಧ ತಾಸಿನ ಬಳಿಕ, ಆ ಸುದ್ದಿ 4 + (3x3) ಜನರಿಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿತ್ತು.
ಆ ಒಂಭತ್ತು ಜನರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನೂ ತನ್ನ ಸರದಿಯಲ್ಲಿ ಆ ಸುದ್ದಿಯನ್ನು ಮೂವರು ಗೆಳೆಯರಿಗೆ ಹೇಳಿದ. ಹಾಗಾಗಿ, ಪೂ.8.45ಕ್ಕೆ ಆ ಸುದ್ದಿ ತಿಳಿದ್ದಿದ್ದವರು 13 + (3x9) = 40 ನಿವಾಸಿಗಳು.
ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸುದ್ದಿ ಹರಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಅದನ್ನು ಕೇಳಿದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನೂ ಮುಂದಿನ 15 ನಿಮಿಷಗಳೊಳಗೆ ಅದನ್ನು ಇತರ ಮೂವರಿಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಸುದ್ದಿ ತಿಳಿದವರ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೀಗೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ:
ಪೂ.9 ಗಂಟೆಗೆ ಆ ಸುದ್ದಿ ತಿಳಿದವರು 40+(3x27)= 121 ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು
ಪೂ.9.15ಕ್ಕೆ ಆ ಸುದ್ದಿ ತಿಳಿದವರು 121+(3x81)= 364 ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು
ಪೂ.9.30ಕ್ಕೆ ಆ ಸುದ್ದಿ ತಿಳಿದವರು 364+(3x243)= 1,093 ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು
ಹೀಗೆ, ಒಂದೂವರೆ ತಾಸಿನೊಳಗೆ, ಆ ಸುದ್ದಿ 1,100 ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. 50,000 ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿರುವ ಪಟ್ಟಣದಲ್ಲಿ ಇಷ್ಟು ಜನರು ಅದನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವುದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಗತಿಯೆಂದು ಅನಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ, ಆ ಪಟ್ಟಣದವರೆಲ್ಲ ಅದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ದೀರ್ಘ ಸಮಯ ತಗಲುತ್ತದೆಂದು ಕೆಲವರು ಯೋಚಿಸಬಹುದು. ಅನಂತರ, ಅದು ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಹರಡುವುದೆಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
ಪೂ.9.45ಕ್ಕೆ ಆ ಸುದ್ದಿ ತಿಳಿದವರು 1,093+(3x729)= 3,280 ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು
ಪೂ.10 ಗಂಟೆಗೆ ಆ ಸುದ್ದಿ ತಿಳಿದವರು 3,280+(3x2,187)= 9,841 ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು
ಮುಂದಿನ 15 ನಿಮಿಷಗಳೊಳಗೆ, ಆ ಸುದ್ದಿ ಪಟ್ಟಣದ ಅರೆವಾಸಿಗಿಂತ ಜಾಸ್ತಿ ಜನರಿಗೆ ಗೊತ್ತಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ 9,841+(3x6,561)= 29,524 ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಗೊತ್ತಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಇದರರ್ಥ ಏನೆಂದರೆ, ಒಬ್ಬನೇ ವ್ಯಕ್ತಿ ಪೂ.8 ಗಂಟೆಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದ ಸುದ್ದಿ ಪೂ. 10.30ರ ಮುನ್ನ ಪಟ್ಟಣದ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಗೊತ್ತಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈಗ, ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಹೇಗೆಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ:
1 + 3 + (3x3) + (3x3x3) + (3x3x3x3) ಇತ್ಯಾದಿ. ಗಮನಿಸಿ: 1+2+4+8 ಇತ್ಯಾದಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಸುಲಭ ವಿಧಾನವಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಈ ಮೇಲಿನದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಮಾಡಲು ಒಂದು ಸುಲಭ ವಿಧಾನವಿದೆ. ನಾವು ಕೂಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಶೇಷ ಗುಣವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಆ ವಿಧಾನ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ:
1 = 1
3 = 1 x 2 + 1
9 = (1 + 3) x 2 + 1
27 = (1 + 3 + 9) x 2 + 1
81 = (1 + 3 + 9 + 27) x 2 + 1 ಇತ್ಯಾದಿ
ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಇಮ್ಮಡಿಗೆ ಒಂದು (1) ಕೂಡಿಸಿದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕೂಡಿಸಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಒಂದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತನಕ) ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲಿಕ್ಕಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (ಅದರಿಂದ 1 ಕಳೆದ ನಂತರ) ಅದರ ಅರ್ಧ ಕೂಡಿಸಿದರಾಯಿತು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
1+3+9+27+81+243+729ರ ಮೊತ್ತ:
729 + 728ರ ಅರ್ಧ, ಅಂದರೆ, 729 + 364 = 1,093