ಮನರಂಜನೆಗಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತ

ಪುಸ್ತಕ: ಮನರಂಜನೆಗಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತ
ಲೇಖಕ: ಯಾಕೊವ್ ಪೆರೆಲ್ಮನ್
ಕನ್ನಡಾನುವಾದ: ಅಡ್ಡೂರು ಕೃಷ್ಣ ರಾವ್
ಪ್ರಕಾಶಕರು: ನವಕರ್ನಾಟಕ ಪ್ರಕಾಶನ, ಬೆಂಗಳೂರು
ಮೊದಲನೇ ಮುದ್ರಣ: ೨೦೧೩,     ಪುಟ:೧೯೬,     ಬೆಲೆ: ರೂ.೧೨೦
“ಗಣಿತ ಎಂದರೆ ಕಷ್ಟ, ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದರೆ ಇನ್ನೂ ಕಷ್ಟ” ಎನ್ನುವವರು ಬಹಳ ಜನರು. ಇಂತಹ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ರಷ್ಯನ್ ಗಣಿತ ಗಾರುಡಿಗ ಯಾಕೋವ್ ಪೆರೆಲ್ಮನ್ ಅವರ ಈ ಪುಸ್ತಕ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಗೆಗಿನ ತಪ್ಪು ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ದೂರ ಮಾಡಲು ಸಹಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾಕೆಂದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮನರಂಜನೆಯ ಮೂಲಕ ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ – ಯುವಜನರನ್ನು ಈ ಪುಸ್ತಕ ಆಕರ್ಷಿಸುವುದಲ್ಲಿ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲ.

ವಿವಿಧ ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಲಾಗರಿತಂ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗವಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಘಾತಗಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ದೈನಂದಿನ ವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲೂ ಎದುರಾಗುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನಿಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಿಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹಾಗೂ ಬೃಹತ್ ಗಾತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವಿದೆ ಎಂದು ಓದುಗರು ಈ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಖಂಡಿತವಾಗಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರಗಳು ಪುಸ್ತಕಕ್ಕೊಂದು ಮೆರುಗು.

ವಿಶ್ವವಿಖ್ಯಾತ ಗಣಿತ ಪ್ರತಿಭೆ ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ೧೨೫ನೇ ಜನ್ಮವರುಷವಾದ ೨೦೧೨ನೇ ಇಸವಿಯನ್ನು ಭಾರತ ಸರಕಾರವು “ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತ ಸಂವತ್ಸರ” ಎಂದು ಘೋಷಿಸಿತ್ತು. ಅದರ ನೆನಪಿಗಾಗಿ ನವಕರ್ನಾಟಕ ಪ್ರಕಾಶನ ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಿದ ಹತ್ತು ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಇದೊಂದು ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹ.

ಅಡ್ಡೂರು ಕೃಷ್ಣ ರಾವ್ “ಅಲ್-ಜೀಬ್ರಾ ಫಾರ್ ಫನ್” ಹೆಸರಿನ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಇಂಗ್ಲಿಷಿನಿಂದ ಕನ್ನಡಕ್ಕೆ ಸೊಗಸಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದರ ಮೂರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:
೧)ಸಂಖ್ಯೆ ಊಹಿಸುವ ಆಟ

ನಿಮಗೆಲ್ಲರಿಗೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಆಟ ಗೊತ್ತಿರಬಹುದು. ಆಟ ನಡೆಸುವವನು ಈ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ: ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯೋಚಿಸಿ, ಅದಕ್ಕೆ ೨ ಕೂಡಿಸಿ, ೩ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ೫ ಕಳೆಯಿರಿ, ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ – ಹೀಗೆ ೫ ಅಥವಾ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ೧೦ ಗಣಿತ ಪರಿಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಮಾಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಿಮಗೆ ದೊರಕಿದ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದೆಂದು ಕೇಳಿ, ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದ ಆಧಾರದಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಿ ಬಿಡುತ್ತಾರೆ.
ಈ “ತಂತ್ರ”ದ ಗುಟ್ಟು ಸರಳ; ಇಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳೇ ಉತ್ತರ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಆಟ ನಡೆಸುವವನೊಬ್ಬ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಹೇಳುತ್ತಾನೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ:
ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯೋಚಿಸಿ        x
ಅದಕ್ಕೆ 2 ಕೂಡಿಸಿ                    x + 2
ಉತ್ತರವನ್ನು 3ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ            3x + 6
ಇದರಿಂದ 5 ಕಳೆಯಿರಿ                3x + 1
ಈಗ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ        2x + 1
ಇದನ್ನು 2ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ                4x + 2
ಇದರಿಂದ 1 ಕಳೆಯಿರಿ                4x + 1
ಆತ ನಿಮ್ಮಿಂದ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕೇಳಿ ತಿಳಿದು, ಮೂಲಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಹೇಳಿ ಬಿಡುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ?
ಇಲ್ಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯ ಬಲಭಾಗದ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿ ಆಟ ನಡೆಸುವವನ ಆದೇಶಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೊಮ್ಮೆ ಕಣ್ಣು ಹಾಯಿಸಿದರೆ ಆತ ಹೇಗೆ ಉತ್ತರ ಹೇಳುತ್ತಾನೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೊತ್ತಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು x ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಯೋಚಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲ ಗಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಬಳಿಕ 4x + 1 ಸಿಗುತ್ತದೆಂಬುದು ಈ ಕಾಲಂನಿಂದ ಸುಸ್ಪಷ್ಟ. ಈ ವಿಷಯ ಗೊತ್ತಾದರೆ, ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು “ಊಹಿಸುವುದು” ಸುಲಭ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಮಗೆ ದೊರಕಿದ ಸಂಖ್ಯೆ 33 ಎಂದಿರಲಿ. ಗಣಿತ ಪರಿಣತನು 4x + 1 = 33  ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸಿ, x = 8 ಎಂದು ಕಂಡು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಬೇರೆ ಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವನು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರದಿಂದ 1  ಕಳೆದು (33 – 1 = 32), ಬಳಿಕ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 4ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, 8 ಎಂಬ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ 8. ನಿಮ್ಮ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ 25 ಎಂದಾದರೆ, ಗಣಿತ ಪರಿಣತನು ಇದೇ ಮಾನಸಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ನೀವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಯೋಚಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆ ೬ ಎನ್ನುತ್ತಾನೆ.
ಈಗ, ಇದು ಬಹಳ ಸರಳ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಯೋಚಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಲು, ನಿಮ್ಮ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರದಿಂದ ಯಾವ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕೆಂಬುದು ಗಣಿತ ಪರಿಣತನಿಗೆ ಮೊದಲೇ ಗೊತ್ತಿರುತ್ತದೆ.
ನೀವು ಈ “ತಂತ್ರ”ವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿಕೊಂಡರಾಯಿತು. ಅನಂತರ ನಿಮ್ಮ ಗೆಳೆಯರೆದುರು ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು.
೨)ನರ್ತನದ ಜೊತೆಗಾರರು
ಸ್ನೇಹಕೂಟವೊಂದರಲ್ಲಿ 20 ಜನರು ನರ್ತಿಸಿದರು. ಶರ್ಮಿಳಾ ಏಳು ಜೊತೆಗಾರರೊಂದಿಗೆ, ಕಲ್ಪನಾ ಎಂಟು ಜೊತೆಗಾರರೊಂದಿಗೆ, ಆಶಾ ಒಂಭತ್ತು ಜೊತೆಗಾರರೊಂದಿಗೆ – ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಯುವತಿಯರು ಹೆಚ್ಚೆಚ್ಚು ಜೊತೆಗಾರರೊಂದಿಗೆ ನರ್ತಿಸಿದರು. ಕೊನೆಯವಳಾದ ಭಾನುಮತಿ ಎಲ್ಲ ಜೊತೆಗಾರರೊಂದಿಗೆ ನರ್ತಿಸಿದಳು. ಹಾಗಾದರೆ ಆ ಸ್ನೇಹಕೂಟದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಯುವಕ ಜೊತೆಗಾರರಿದ್ದರು?
ಉತ್ತರ: ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣ ರಚಿಸಿದರೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಇದರ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಯುವಕರ ಬದಲಾಗಿ, ಯುವತಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟೆಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ. ಯುವತಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆ x ಎಂದಿರಲಿ.
ಮೊದಲು, ಶರ್ಮಿಳಾ 6 + 1 ಜೊತೆಗಾರರೊಂದಿಗೆ,
ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಕಲ್ಪನಾ 6 + 2 ಜೊತೆಗಾರರೊಂದಿಗೆ,
ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಆಶಾ 6 + 3 ಜೊತೆಗಾರರೊಂದಿಗೆ,
(ಹೀಗೆಯೇ ಸಮೀಕರಣ ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ),
ಕೊನೆಯವಳಾದ ಭಾನುಮತಿ 6 + x ಜೊತೆಗಾರರೊಂದಿಗೆ ನರ್ತಿಸಿದಳು.
ಈಗ ಸಿಗುವ ಸಮೀಕರಣ:
X + (6 + x) = 20
ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ, x = 7. ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ನೇಹಕೂಟದಲ್ಲಿ 20 – 7 = 13 ಯುವಕರಿದ್ದರು.
೩)ತೋಟಕ್ಕೆ ನೀರೆರೆಯುವುದು
ಒಂದು ತೋಟದಲ್ಲಿ ೩೦ ಸಾಲು ಗಿಡಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು 16 ಮೀಟರು ಉದ್ದ ಮತ್ತು 2.5 ಮೀಟರು ಅಗಲವಿದೆ. ತೋಟಗಾರನು 14 ಮೀಟರು ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಾವಿಯಿಂದ ಕೊಡದಲ್ಲಿ ನೀರು ಸೇದಿ ತಂದು, ಸಾಲುಗಳ ನಡುವೆ ನಡೆದು, ತೋಟದ ಗಿಡಗಳಿಗೆ ನೀರು ಎರೆಯುತ್ತಾನೆ. ಬಾವಿಯಿಂದ ಒಮ್ಮೆ ಸೇದಿ ತಂದ ನೀರು ಒಂದು ಸಾಲಿಗೆ ಎರೆಯಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ, ಇಡೀ ತೋಟಕ್ಕೆ ನೀರೆರೆಯುವಾಗ ತೋಟಗಾರ ಎಷ್ಟು ದೂರ ನಡೆಯುತ್ತಾನೆ? ಅವನ ನಡೆದಾಟವು ಬಾವಿಯಿಂದ ಆರಂಭವಾಗಿ ಅಲ್ಲಿಯೇ ಮುಗಿಯುತ್ತದೆ.
ಉತ್ತರ: ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ನೀರೆರೆಯಲು ತೋಟಗಾರನು ನಡೆಯುವ ದೂರ:
14 + 16 + 2.5 + 16 + 2.5 + 14 = 65 ಮೀಟರ್
ಎರಡನೆಯ ಸಾಲಿಗೆ ನೀರೆರೆಯಲು ಅವನು ನಡೆಯುವ ದೂರ:
    14 + 2.5 + 16 +2.5 + 16 + 2.5 + 2.5 + 14 = 65 + 5 = 70 ಮೀಟರ್
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿಗೆ ನೀರೆರೆಯುವಾಗಲೂ ಹಿಂದಿನ ಸಾಲಿಗೆ ನೀರೆರೆಯಲಿಕ್ಕಾಗಿ ನಡೆದದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಐದು ಮೀಟರು ಜಾಸ್ತಿ ನಡೆಯಬೇಕು. ಈ ಪ್ರಕಾರ, ಇಲ್ಲಿ ಸಿಗುವ ಸಂಖ್ಯಾಸರಣಿ:
    65, 70, 75, ……..; 65 + 5 x 29
ಈ ಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ: (65 + 65 + 29 x 5) 30 / 2 = 4125 ಮೀಟರ್
ಅಂದರೆ, ತೋಟಗಾರನು ತನ್ನ ತೋಟಕ್ಕೆ ನೀರೆರೆಯುವಾಗ 4.125  ಕಿಲೋಮೀಟರು ನಡೆದಿರುತ್ತಾನೆ.